去年7月，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院概率統(tǒng)計系教授丁劍和2020級博士生劉昱、夏傲騰合作的論文在國際數(shù)學(xué)頂尖期刊 Inventiones mathematicae 在線發(fā)表。
該研究綜合運用了粗?；ㄖ卣┓椒?、隨機分割算法、Edwards-Sokal耦合、Peierls論證等技術(shù)，證明了帶隨機外場的三維伊辛模型的臨界溫度隨著外場強度趨于0收斂于經(jīng)典伊辛模型的臨界溫度。這一結(jié)果在數(shù)學(xué)上證實了物理學(xué)家Imry和馬上庚在上世紀七十年代提出的Imry-Ma猜想中相當重要的一部分，為無序系統(tǒng)相變現(xiàn)象的研究提供了新的框架和視角。
今年7月，兩位同學(xué)即將從北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院畢業(yè)。他們這篇論文的發(fā)表，為在北大的數(shù)學(xué)博士生涯添上了濃墨重彩的一筆。在迎來這一高光時刻之前，他們都經(jīng)歷了怎樣的科研歷程？這一重要成果對他們的未來發(fā)展意味著什么？讓我們來聽聽劉昱和夏傲騰同學(xué)的分享。
劉昱
劉昱，2020年本科畢業(yè)于山東大學(xué)泰山學(xué)堂數(shù)學(xué)方向，同年在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院開始攻讀博士學(xué)位，導(dǎo)師為李欣意。主要研究方向為滲流模型的相變現(xiàn)象。
夏傲騰
夏傲騰，2020年本科畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，同年在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院開始攻讀博士學(xué)位，導(dǎo)師為田剛、李欣意。主要研究興趣為晶格上的隨機模型的相變現(xiàn)象與近臨界行為。
能否用通俗簡約的語言描述一下你們與丁劍老師合作發(fā)表在Inventiones mathematicae上的工作？
伊辛模型是研究鐵磁體磁性隨溫度發(fā)生相變現(xiàn)象的簡化模型。具體來說，假設(shè)鐵磁體由多個微小磁性單元組成，每個單元可被想象成可以取兩個狀態(tài)：+1（向上）或-1（向下）的自旋粒子。而系統(tǒng)總能量與這些自旋粒子及他們鄰接粒子的狀態(tài)緊密相關(guān)，在不受外界干擾時，系統(tǒng)會趨向于呈現(xiàn)微小粒子具有相同自旋的情形。當然，溫度、外部條件（外場）也會影響整個系統(tǒng)的排布。無外場的二維以上的經(jīng)典伊辛模型關(guān)于溫度的變化存在一個非平凡的相變現(xiàn)象：我們能夠找到一個臨界溫度，若低于這個溫度，自旋趨向有序排列，導(dǎo)致整體系統(tǒng)呈現(xiàn)有序磁性（簡稱磁序）；而一旦高于這個溫度，則自旋無序排列，無法產(chǎn)生統(tǒng)一的磁場。
數(shù)學(xué)上已有研究證明了極低溫度下磁序的存在性。我們的文章綜合運用了離散概率論中研究隨機格點模型的滲流性質(zhì)的多種工具，尤其是受統(tǒng)計物理學(xué)中重整化群思想啟發(fā)的粗?；夹g(shù)，證明了帶隨機外場的伊辛模型的臨界溫度隨著外場強度趨于0收斂于經(jīng)典伊辛模型的臨界溫度；換言之，較小的外場只會對臨界溫度造成較小的擾動。
聽起來，你們這個研究似乎更像是物理問題？
我們的研究方向是概率論與統(tǒng)計物理的交叉，關(guān)注有統(tǒng)計物理背景的概率模型。統(tǒng)計物理學(xué)家認為，微觀粒子的運動具有隨機性，這種微觀層面的隨機性產(chǎn)生的統(tǒng)計規(guī)律，在大尺度上表現(xiàn)出確定性，造就了宏觀層面的物理現(xiàn)象。物理學(xué)家對微觀粒子的運動與相互作用提出了許多簡化的模型，并依據(jù)這些模型做出物理層面的預(yù)測。盡管一些預(yù)測的正確性被普遍認可，但從數(shù)學(xué)角度看，這些預(yù)測還沒有得到嚴格的數(shù)學(xué)證明。因此，概率論與統(tǒng)計物理的交叉領(lǐng)域，面臨著數(shù)學(xué)證明與物理學(xué)預(yù)測之間的“追趕”問題。李欣意老師在科普講座中提到過這樣的比喻：
物理學(xué)家像老鷹，飛得高看得遠；數(shù)學(xué)家像烏龜，在地上不慌不忙地爬行（有時候還會把腦袋縮回去），但每一步都很踏實，也能到達一些老鷹去不了的地方。
這形象地表達了物理預(yù)測的前瞻性與數(shù)學(xué)嚴格化之間的平衡。預(yù)測是非常重要的，往往也能給數(shù)學(xué)家的研究引領(lǐng)方向，但問題的嚴格化和數(shù)學(xué)證明卻往往非常困難，這也是我們方向的最大機遇和挑戰(zhàn)。
論文寫作過程如何？有沒有什么難忘的經(jīng)歷？
2022年春季學(xué)期，丁劍老師開設(shè)了《隨機過程2》專題課程，每節(jié)課都圍繞一個公開問題（open problem）展開。同學(xué)們戲稱這門課為丁老師不會的15個問題，而我們的研究正是源于其中一個課題——三維及以上隨機外場伊辛模型。在課堂上，丁老師通過示意圖與理論推導(dǎo)相結(jié)合的方式，詳細講解了無外場情形下的經(jīng)典Peierls論證方法，并將問題拓展至存在高斯外場的復(fù)雜場景。他系統(tǒng)地梳理了該領(lǐng)域的重要里程碑成果，引導(dǎo)我們逐步深入，最終形成了這項研究。
從2022年3月開始，我們與丁老師圍繞這個課題展開了深入討論。有時在他的辦公室一待就是一整天，從早到晚持續(xù)探討。每當遇到瓶頸時，丁老師就會拿出零食與我們分享，我們一邊吃著零食，一邊對著黑板冥思苦想。
?討論時的黑板
在10月投稿前，期間證明其實“掛”過兩次。5月份時，我們以為已經(jīng)完成了研究，但在撰寫五十多頁的論文時，發(fā)現(xiàn)一個重要引理無法證明。為了繞過這個難點，我們付出了大量努力。到了9月暑假結(jié)束后，又發(fā)現(xiàn)修改后的證明框架仍然存在根本性錯誤——一個基本假設(shè)被反例推翻。然而，正是從這個反例出發(fā)，我們最終找到了正確的方向。
雖然整個前面的過程全部是錯的，但是是一次錯誤但成功的嘗試。
在博士二年級時，我們對科研還缺乏深入的認識，難以準確判斷問題的難度級別?；叵肫饋恚绻蠋熞婚_始就告訴我們這個課題是一個困擾學(xué)界幾十年的公開難題，我們可能在中途就會因為畏難而放棄。但丁老師巧妙地將其設(shè)計成一份看似可以完成的課堂大作業(yè)，極大地降低了我們的心理壓力，讓我們能夠以更輕松的心態(tài)投入研究。
在北大的博士學(xué)習(xí)生活中，學(xué)術(shù)氛圍怎么樣？朋輩關(guān)系如何？
在我們這一屆學(xué)生就讀期間，見證了概率系的“豹變”。李欣意老師回到北京國際數(shù)學(xué)研究中心任教后，不僅承擔了《高等概率論》的教學(xué)工作，還開設(shè)了多門概率專題選修課程。同時，他定期組織研究方向的學(xué)術(shù)討論班，以及面向本科生的3+X討論班，大大增進了本科生與博士生之間的學(xué)術(shù)交流。
隨著團隊規(guī)模不斷擴大，原本僅有四五人的小型討論班逐漸吸引了眾多本專業(yè)研究生和對概率論感興趣的本科生。通過這種互動，我們既能夠接觸到許多優(yōu)秀的本科生，也能幫助他們更快掌握該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識。
特別值得一提的是，隨著許惟鈞、丁劍、孫鑫等杰出學(xué)者陸續(xù)加入學(xué)院和研究中心，選擇概率方向的本科生人數(shù)持續(xù)增加，整個學(xué)科呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的態(tài)勢。
?討論班合影（左一：劉昱，左四：夏傲騰）
這形成了一個正向的循環(huán)。
在科研過程中，我們并沒有感受到過強的同輩競爭壓力。實際上，這種壓力很大程度上取決于個人的心態(tài)。我們屬于比較“佛系”的，看到身邊同學(xué)都很優(yōu)秀時，反而會為能被他們帶動而感到高興。但對于性格敏感、好勝心強的研究者來說，長期從事學(xué)術(shù)工作確實可能承受較大的心理壓力。
值得一提的是，導(dǎo)師們在安排研究方向時非常用心，盡量避免無效“內(nèi)卷”。比如，通常會讓同年級的學(xué)生選擇不同領(lǐng)域，這樣就減少了直接比較的可能性。
我們發(fā)現(xiàn)一個特別有意思的合作模式：當老師與學(xué)生開展研究時，最好能有兩名或以上的學(xué)生共同參與。這樣的好處顯而易見：首先，我們可以私下討論解決一些基礎(chǔ)問題，避免因為問題太簡單而不好意思請教老師；其次，遇到困難時互相鼓勵，心態(tài)會更輕松——畢竟當研究遇到瓶頸時，知道不是自己一個人的問題，壓力就會小很多（笑）！這種合作模式既提高了學(xué)習(xí)效率，也營造了更輕松的科研氛圍。
就讀期間，對導(dǎo)師感受如何？
在學(xué)術(shù)風(fēng)格和學(xué)術(shù)品味的培養(yǎng)方面，李欣意老師展現(xiàn)出了極大的耐心，通過潛移默化的方式影響著我們。他善于運用生動的比喻（常常與食物相關(guān)）來解釋模型的典型行為，并引導(dǎo)我們在聽完講座后提煉出“take-home message”——即抓住最直觀、最關(guān)鍵的部分。這種訓(xùn)練讓我們逐漸養(yǎng)成了從直覺和直觀角度理解問題的思維方式。不同導(dǎo)師有著各自獨特的指導(dǎo)風(fēng)格。
丁劍老師對學(xué)生要求嚴格，若我們未能達到標準，他會直率地指出問題。公允地說，他是“刀子嘴豆腐心”，對事不對人，嚴厲背后是殷切的期望。我們總結(jié)出的應(yīng)對之道就是：虛心接受批評，回去加倍努力。相比之下，李老師更能包容學(xué)生情緒和工作效率的波動，交流時可以暢所欲言。因此我們常開玩笑說，對于剛接觸概率方向的“新鮮原材料”（學(xué)生），最好先經(jīng)過李老師的“焯水”處理，再跟隨丁老師進行科研訓(xùn)練，以免直接被嚴苛的標準“嚇跑”。
夏傲騰補充道：“田剛老師即使行程再繁忙，出差返京后也總是第一時間組織討論班。每學(xué)期他都會定期與我見面，在大方向上給予指導(dǎo)，并為我的博士后選擇提供了寶貴建議。”可以說，我們非常幸運能遇到這些優(yōu)秀的導(dǎo)師，他們都愿意傾注大量時間悉心培養(yǎng)學(xué)生。
?師生出游（左一：劉昱，居中：李欣意，左五：夏傲騰）
在數(shù)院讀博期間，最難忘的經(jīng)歷是什么？
劉：雖然有靈感迸發(fā)的瞬間，但是失敗過幾次后會趨向于普通，也是一個心理上不斷調(diào)試的過程。起初，你可能發(fā)現(xiàn)了什么都很驚喜，然而隨著時間推移，逐漸意識到（這可能意味著你已經(jīng)成長）已經(jīng)不再將其當作心理上的收獲。
夏：我印象非常深刻的是，有一個下午，我們的文章還差一個定理。我突然意識到遇到的問題與以前閱讀過的一篇文章有些相似，于是我問丁老師這個問題能否也類似處理。我們試了一下確實奏效。在具體的那一個下午的一個小時里，我想得比丁老師快了那么一點。我覺得，這還是挺不容易的。
自從我進入學(xué)術(shù)研究那一刻起，我意識到并非所有人都是開疆拓土的人，總要有人在后面修修補補。
即將畢業(yè)，對學(xué)弟學(xué)妹們有什么建議？
劉：個人建議本科生在大一大二時多去嘗試。盡早確立自己感興趣的方向，可能是更好的。如果一開始就決定去業(yè)界，可以去實習(xí)實踐；如果打算做學(xué)術(shù)研究的話，可以早點了解不同方向上的老師和研究細節(jié)，早點進入的“容錯率”會更高。
夏：我是從博二才開始在科研上實質(zhì)性地起步。在（概率論）特定方向的門檻并不高，無需學(xué)習(xí)太多前置知識。開始得早當然好，如果開始得晚，也不要坐在地上看著別人哭，那也沒用。什么時候開始都可以，遇到好的老師、匹配的科研項目也很重要。
為什么選擇在北大讀博士？
大家之前傾向于出國的最重要原因是，那時國外的學(xué)術(shù)氛圍相對較好。但是，如果學(xué)術(shù)環(huán)境不相上下，待在自己熟悉的環(huán)境里會舒服很多，在國外處理語言問題和各種生活問題會花費大量精力。北大有世界top的生源，現(xiàn)在在很多方向上也具備國際頂尖的師資隊伍和空前活躍的學(xué)術(shù)氛圍。
現(xiàn)在國內(nèi)的學(xué)術(shù)環(huán)境很好，留在國內(nèi)讀博也是很好的選擇。
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